2×2分割表の検定 - Campbell/Lydersen に基づく推奨

2×2分割表は、2つの二値変数の関係を表にまとめたものです。

ほとんどの医学統計の教科書では、2×2 分割表の検定について次のように説明しています。

この指針は査読付き論文でも広く採用されており、現時点でも「間違い」と断言できるものではありません。

ただし、この手順がどのように生まれ、どのような限界があるのかを理解しておくことが重要です。後の節（「期待度数5未満→Fisher」はなぜ広まったのか）で詳しく説明します。

ある薬剤の無作為化比較試験で、12名ずつ 2 群に割り付けて治療成功率を調べました。

新薬群の成功率は 7/12 ≈ 58%、対照群は 2/12 ≈ 17% です。 40% 以上の差があるように見えますが、N = 24 と小さい。はたして「有意差あり」と結論できるでしょうか？

同じデータを 6 種類の手法で計算した結果（R 4.5.1 による）：

オッズ比 = 7.0（95%CI: 0.81–85.7、Fisher 法）。N が小さいため信頼区間は広いですが、現代的な検定手法はいずれも有意差を検出しています。

最も基本的な手法です。

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \]

• 長所: 計算が速い。大標本では信頼性が高い
• 短所: 小標本では第一種過誤率（偽陽性率）が名目水準（5%）を超えることがある

\[ \chi^2_{\text{Yates}} = \sum \frac{(|O - E| - 0.5)^2}{E} \]

Fisher の正確確率検定に近い p 値を与えるように設計されていますが、同様に保守的になります。現代では推奨されないことが多い手法です。

• 長所: 第一種過誤率が確実に名目水準以下（偽陽性を出しにくい）
• 短所: 過度に保守的になりやすく、本当は差があるのに見逃すリスク（第二種過誤）が増す
• 適切な使い所: 両方の周辺度数が実際に固定されている実験デザイン（稀）

E.S. Pearson（Karl Pearson の息子）が 1947 年に提案した補正法です。

\[ \chi^2_{N-1} = \chi^2_{\text{Pearson}} \times \frac{N-1}{N} \]

N が大きければ \(\frac{N-1}{N} \approx 1\) となり Pearson と同じ結果になりますが、小標本ではより正確な第一種過誤率を与えます。

Fisher 検定の保守性を緩和する実用的な方法です。

\[ p_{\text{mid}} = p_{\text{Fisher}} - \frac{1}{2} P(\text{観測されたテーブル}) \]

観測されたテーブルの確率の半分だけを引くことで、離散分布による過剰な保守性を補正します。

• 長所: Fisher より常に検出力が高い。計算がシンプル。第一種過誤率が名目水準に近い
• 短所: 厳密には「正確」ではない（名目水準をわずかに超えることがある）
• Lydersen et al. (2009) が Boschloo と並んで推奨する手法

Boschloo（1970）が提案した、最も検出力の高い 2×2 正確検定です。

• 長所: 最も検出力が高い 2×2 正確検定。名目水準を守りながら Fisher より強力
• 短所: 計算負荷が高い（このアプリでは N ≤ 300 のみ対応）
• Lydersen et al. (2009) のゴールドスタンダード

このルールは医学統計の世界に深く根付いています。教科書の記述が誤っているわけではありませんが、成立した経緯を知ると、なぜ現代的な見直しが必要なのかが理解できます。

Cochran（1954）が「カイ二乗近似が信頼できるための目安」として提唱した閾値が、いつしか「Fisher を使うべき条件」として教科書に定着しました。

重要なのは、Cochran の意図は「カイ二乗近似の精度」についての話であり、「Fisher 検定が最善か」という問いとは別の話だった点です。Campbell（2007）は、Cochran 自身が「5」という数値を恣意的に選んだと認めていたことを指摘しています。

医学のガイドラインが新しいエビデンスに基づいてアップデートされるように、統計手法の推奨も更新されます。2×2 分割表の検定については、以下の 2 本の論文が重要なマイルストーンです。

• Campbell（2007）：7 種類の検定を網羅的に比較し、N-1 カイ二乗検定の優位性と、Fisher 正確確率検定の保守性の問題を定量的に示した。
• Lydersen et al.（2009）：Boschloo の検定が最も検出力の高い正確検定であること、Fisher mid-p 法が実用的な代替手法であることを示した。

2×2分割表の独立性検定
│
├─ 全セルの期待度数 ≥ 5（大標本）
│   → どの手法でもほぼ同じ結果
│     Pearson カイ二乗検定（補正なし）で十分
│
├─ 期待度数 1～5 のセルあり（中標本）
│   ├─ 推奨: N-1 カイ二乗検定（Campbell 2007）
│   ├─ 推奨: Boschloo の検定、または Fisher mid-p（Lydersen 2009）
│   └─ Fisher 正確確率検定は「間違い」ではないが、保守的
│
├─ 期待度数 < 1 のセルあり（超小標本）
│   → Fisher-Irwin 検定（N-1 カイ二乗の自動フォールバック）
│   → Boschloo または Fisher mid-p も有力
│
└─ 両方の周辺度数が本当に固定されている実験
    → Fisher の正確確率検定（本来の適用場面）

Fisher の正確確率検定は第一種過誤率を確実に名目水準以下に保つため、偽陽性（誤った有意差）を出すことはありません。問題は検出力の低下、つまり「本当は差があるのに見逃すリスク」が高まることです。

過去の論文で Fisher や Yates を使っていても「誤り」ではありません。「知識のアップデートにより、より良い選択肢が示された」という理解が正確です。今後の研究では現代的な手法を検討することが望ましいでしょう。

N-1 カイ二乗・mid-p・Boschloo は知名度がまだ低く、査読者から質問を受けることがあります。その場合は以下を引用してください。

• Campbell I (2007). Chi-squared and Fisher-Irwin tests of two-by-two tables with small sample recommendations. Statistics in Medicine 26: 3661–3675.
• Lydersen S, Fagerland MW, Laake P (2009). Recommended tests for association in 2×2 tables. Statistics in Medicine 28: 1159–1175.

検定手法の選択よりも重要なのは、効果量（オッズ比・リスク比・リスク差）と 95% 信頼区間の報告です。p 値だけでは差の大きさと不確実性が伝わりません。

• Boschloo RD (1970). Raised conditional level of significance for the 2×2-table when testing the equality of two probabilities. Statistica Neerlandica 24: 1–9.
• Campbell I (2007). Chi-squared and Fisher-Irwin tests of two-by-two tables with small sample recommendations. Statistics in Medicine 26: 3661–3675.
• Lydersen S, Fagerland MW, Laake P (2009). Recommended tests for association in 2×2 tables. Statistics in Medicine 28: 1159–1175.
• Fagerland MW, Lydersen S, Laake P (2017). Statistical Analysis of Contingency Tables. Chapman and Hall/CRC.
• Agresti A (2002). Categorical Data Analysis (2nd ed.). Wiley.

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