混合正規分布モデル (GMM)

解説

混合正規分布モデルとは

混合正規分布モデル (Gaussian Mixture Model; GMM) は、複数の正規分布の線形結合でデータの分布を表現する教師なし学習手法です。データに潜在的に存在する複数のグループやクラスタを自動的に発見し、各データポイントがどのグループに属するかを確率的に推定します。

主な用途:

  • 顧客セグメンテーション・マーケティング分析
  • 遺伝子発現パターンの分類・バイオインフォマティクス
  • 画像処理における領域分割・パターン認識
  • 品質管理データの異常検知・工程管理
  • 心理測定データのグループ分類

本アプリでサポートする機能

機能 詳細 特徴
成分数の自動選択 BIC・AIC基準による最適化 客観的なモデル選択
ソフトクラスタリング 各成分への所属確率を算出 曖昧な境界の表現が可能
1変数・多変数対応 単変量から多変量データまで 柔軟なデータ構造に対応
可視化機能 密度推定曲線・分類結果・事後確率 直感的な結果理解
真の分類との比較 既知のラベルとの精度評価 モデル性能の定量的評価

成分数の決定方法

自動選択手法の比較

手法 特徴 適用場面
BIC基準 (推奨) 保守的、過学習を防ぎやすい 一般的な分析、安定した結果が必要
AIC基準 より複雑なモデルを選びやすい 詳細な構造の把握が必要
手動指定 事前知識に基づく設定 理論的根拠がある場合

成分数の推奨範囲

データサイズ 推奨最大成分数 理由
< 100件 2-3 サンプル不足によるパラメータ推定の不安定化
100-500件 4-6 適度な複雑さでバランスの取れた推定
> 500件 7-10 十分なデータによる複雑な構造の検出

データ要件と推奨事項

サンプルサイズの目安

分析の種類 最低限 推奨 理想
1変数GMM 50件 100件 変数数×成分数×10倍
多変数GMM 100件 200件 変数数×成分数×15倍
真の分類あり 各グループ20件以上 各グループ50件以上 各グループ100件以上

変数の要件

  • 変数タイプ: 連続変数を推奨
  • 分布: 正規分布に近いことが望ましい
  • 欠損値: 完全なデータが必要 (欠損値のある行は自動除外)
  • スケール: 異なる単位の変数は事前標準化を推奨
  • 多重共線性: 高い相関を持つ変数は結果を歪める可能性

変数選択の指針

  • 1変数分析: 分布が多峰性を示す変数
  • 多変数分析: 3-6変数程度を推奨
  • 理論的根拠: グループ分けに意味のある変数を選択
  • 外れ値: 結果に大きく影響するため事前確認を推奨

可視化機能

変数数 グラフ 内容 用途
1変数 密度推定図 ヒストグラム＋各成分の密度曲線 分布の全体像把握
分類結果 データポイントの成分別色分け クラスタ構造の確認
事後確率図 各成分への所属確率の散布図 分類の確実性評価
多変数 分類散布図 主要2変数での成分別色分け 高次元構造の2次元投影
不確実性図 分類の曖昧さの可視化 境界領域の特定
密度等高線 2変数の場合の確率密度分布 成分の形状と重なりの把握

結果の解釈と評価

適合度指標

指標 意味 解釈
対数尤度 モデルの当てはまりの良さ 高いほど良い
BIC 複雑さを考慮した適合度 低いほど良い
ICL 分類の明確さを考慮 低いほど良い

真の分類がある場合の評価

指標 範囲 解釈
調整ランド指数 (ARI) -1.0～1.0 1に近いほど完全一致
ARI ≥ 0.9 - 優秀な分類性能
ARI 0.7-0.9 - 良好な分類性能
ARI 0.5-0.7 - 中程度の分類性能
ARI < 0.5 - 要改善

混合係数の解釈

  • 値の範囲: 0から1の間、合計は1
  • 意味: 全体に占める各成分の割合
  • 均等: 各成分がほぼ同じ重み
  • 偏重: 特定の成分が支配的

統計学的注意事項

推奨されるサンプルサイズ

  • 一般原則: 成分数×変数数×10件以上
  • 1変数の場合: 成分数6以下を推奨
  • 多変数の場合: 成分数と変数数のバランスを考慮

データ

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