非階層クラスタ分析 (K-means法)

非階層クラスタ分析 (K-means Cluster Analysis) は、指定されたクラスタ数kに基づいて、データポイントを重心との距離が最小となるクラスタに分類する教師なし学習手法です。
計算効率が良く、大規模データにも適用可能な代表的なクラスタリング手法で、球状のクラスタ形成に適しています。階層クラスタ分析とは異なり、事前にクラスタ数を指定する必要がありますが、高速かつ安定した結果が得られます。

• 計算効率の高さ
  • 大規模データセットでも高速に処理可能です
  • メモリ使用量が少なく、実用的な手法です
  • 反復計算により最適解に収束します
• 明確なクラスタ境界
  • 各データポイントは必ずいずれかのクラスタに割り当てられます
  • 重心ベースの分類により、解釈しやすい結果が得られます
  • クラスタ間の重複がない排他的分割を行います
• 球状クラスタに最適
  • 円形または球形の自然なグループ化に適しています
  • 各クラスタが比較的同じサイズで密度が均一な場合に効果的です

K-means法は以下の手順で実行されます：

初期重心の配置方法がアルゴリズムの性能に大きく影響します。

シルエット法とエルボー法を組み合わせて最適なクラスタ数を決定します。

シルエット値 = \(\frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))}\)

ここで、\(a(i)\) は同一クラスタ内の平均距離、\(b(i)\) は最も近い他クラスタとの平均距離です。

研究目的や業務要件に基づいて事前にクラスタ数を指定することも可能です。

異なる初期値で複数回実行し、最良の結果を採用する設定です。

• シルエット分析図: 各データポイントのシルエット値を可視化
• 最適クラスタ数分析図: シルエット値の変化を表示
• エルボー法分析図: WSS の変化を表示

目的関数は以下のように定義されます：

\[ \text{minimize} \quad J = \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in C_i} ||x - \mu_i||^2 \]

ここで、\(C_i\) は \(i\) 番目のクラスタ、\(\mu_i\) はクラスタ \(i\) の重心です。

重心の更新式：

\[ \mu_i = \frac{1}{|C_i|} \sum_{x \in C_i} x \]

各クラスタの統計的特徴を以下の形式で確認できます：

• 因果関係: 探索的分析であり、因果関係を示すものではありません
• 形状の制約: 球状でないクラスタの検出は困難です
• 密度の仮定: 密度が不均一なデータには適していません
• ノイズの処理: ノイズデータも必ずいずれかのクラスタに割り当てられます