対応のない群間の検定
解説
対応のない群間の検定は、異なるグループ間で連続変数の平均値や分布に統計的な違いがあるかを検定する方法です。 これらの検定は、異なるサンプル群（例えば、異なる治療法を受けた患者群や異なる年齢層の人々）から得られたデータに適用されます。
グラフ
- ヒストグラム: データの分布を視覚化します。各ビン（区間）にデータがどれだけ含まれているかを示します。
- 箱ひげ図: データの分布、中央値、四分位数、外れ値を視覚化します。
- バイオリンプロット: 箱ひげ図の分布情報に密度情報を加えたグラフです。データの密度分布を同時に示します。
- ランクプロット: 各データ点の順位をプロットします。データの順序関係を視覚化します。
- 累積分布関数プロット: ある値以下のデータ点の割合を示します。データの累積分布を視覚化します。
- 正規確率プロット: データが正規分布に従っているかを視覚的に評価します。データの正規性を確認するために使用されます。
統計計算
- t検定: 二群間の平均値の差が統計的に有意かどうかを検定します。データが正規分布に従う場合に使用されます。
- F検定: 二つの群の分散が等しいかどうかを検定します。特にt検定の前提条件として使用されます。
- ANOVA (分散分析): 三つ以上の群間で平均値に差があるかを検定します。データが正規分布に従う場合に適しています。
- Bartlett検定: 三つ以上の群の分散が等しいかどうかを検定します。ANOVAの前提条件の一つです。
- Tukey HSD (Tukeyの正直有意差法): ANOVAの後に行われる、群間の具体的な差異を検証するための検定です。
- Mann-Whitney U検定: 二つの独立した群間で、中央値に差があるかを検定します。データが正規分布に従わない場合に適しています。
- Kruskal-Wallis検定: 三つ以上の独立した群間で、中央値に差があるかを検定します。データが正規分布に従わない場合に使用されます。
- Jonckheere-Terpstra検定: 複数の群が特定の順序で並んでいるかを検定します。トレンドを検出するのに適しています。
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利用規約| 分類内容 | 値 | |
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データの取り扱い
- データインポート
- データの読み込みは、ブラウザ内で完結し、外部へのデータ送信は発生しません。
- データ保持
- 読み込んだデータはブラウザ内に保持されます。
- ブラウザのセッションが終了または全てのタブが閉じられると、保持していたデータは自動的に破棄されます。
- データの安全性
- ブラウザがクラッシュした場合でも、10分経過すれば次回の起動時にデータは安全に消去されます。
- 共用のPCでの使用も考慮し、データの外部漏洩のリスクを最小化しています。
クラウド R を利用する時のデータ送信
- 最小限のデータ送信
- 外部のRサーバーへ送信されるデータは、数値計算に必要な最小限のセットに制限されています。
- 送信データは解析に必要なサブセットのみに限られます。
- ユーザーコントロール下のデータ送信
- 送信前に、どのデータが外部サーバーへ送信されるのか内容を確認することが可能です。
- データの送信はユーザーの操作により行われ、自動的な送信は行いません。
- クラウド R 出力結果の保持
- クラウド R からの出力結果は、将来の自動翻訳や自動解説の機能実現のため、サーバーがデータベースに保持します。
- その際に、送信者の情報や、計算元となるデータなど、プライバシーに関わる情報は保持しません。
- 通信経路も全て暗号化していますので、たとえプライバシーに関わる情報が含まれていたとしても、通常は漏洩する恐れはありません。
AI による解説を利用する時のデータ送信
- 最小限のデータ送信
- 外部のAIサーバーへ送信されるデータは、クラウド R の出力結果と、用いた統計手法の徐放です。
- ただし、クラウド R の出力結果に連続した数値データが含まれる場合は、AI にデータ形式を認識させる目的で、連続データの最初の行のみを送信します。
- クラウド R 出力結果の保持
- AI による解説内容は、将来の品質向上などのため、サーバーがデータベースに保持します。
- その際に、送信者の情報や、計算元となるデータなど、プライバシーに関わる情報は保持しません。
Reactive stat において、統計データの変数は、通常の数値や文字列として扱われます。 したがって、日付や時間の概念は直接的にはサポートされていません。
統計計算を行う際には、日付や時間の差分を数値として事前に用意しておく必要があります。
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元データ
| id | カラム１ | カラム２ |
|---|---|---|
| 1 | A | B |
| 2 | C | D |
変換後のデータ
| id | データ名 | 値 |
|---|---|---|
| 1 | カラム１ | A |
| 1 | カラム２ | B |
| 2 | カラム１ | C |
| 2 | カラム２ | D |
{{ replaced_script }}
R の出力結果
{{ rResult }}
R output figures
AI による R 出力結果の解説
データ
設定
結果
ヒストグラム (度数分布)
ヒストグラムはデータの分布の概要を表すためのツールです。 データがどのように分散しているか、ピークはどこにあるか、外れ値は存在するかなど、初見のデータセットに対しての洞察を得るために役立ちます。
- ビンの選択: ヒストグラムを描く際のビンの数や幅の選択は結果に影響を及ぼします。 ビンが多すぎるとノイズが目立ち、少なすぎるとデータの形状がわからなくなります。ここでは自動調整しています。
- 統計的検定の前に、データが正規分布に従っているかどうかの確認に使用します。
箱ひげ図
箱ひげ図は、データの四分位数を使用して、データのばらつきや中央の値を視覚的に表します。
- ホイスカー: データの最大値と最小値を示します。
- 外れ値: 1.5倍の四分位範囲を超えるデータを外れ値とみなすのが一般的です。
- 応用: 複数のグループ間での中央値や分散を比較できます。
バイオリンプロット
バイオリンプロットはデータの分布を細かく表現するためのグラフです。 データの分布の形や密度に加え、中央の値やばらつきも一度に表すことができます。
- カーネル密度推定: データポイントの周りの滑らかなカーブ。
- 応用: 2つ以上のカテゴリ変数ごとのデータの分布を比較できます。
ランクプロット
ランクプロットは、データを順位に基づいてプロットします。 これにより、データの相対的な順序やランキングを視覚的に理解することが容易になります。
- 順位: 同じ値の場合は平均順位となります。同点3位が2つあればどちらも 3.5。
- 応用: ノンパラメトリックな統計的検定 (例: Wilcoxon の符号順位検定) において、データの順位は中心的な役割を果たします。
累積分布関数プロット
累積分布関数 (CDF) は、データの累積的な確率を示します。 これは、ある値以下のデータポイントの割合を示しています。
- パーセンタイル: CDFを使用して、あるパーセンタイルの値を容易に読み取ることができます。 例えば、中央値は50パーセンタイルに対応します。
- 応用: ２つの分布を比較する際や、特定のパーセンタイルのデータ値を確認する際に有用です。
正規確率プロット
正規確率プロット (Q-Qプロット、Quantile-Quantileプロットとも言います) は、データの分布が正規分布にどれほど近いかを視覚的に評価するためのグラフィカルな方法です。
このプロットは、データが正規分布に従っている場合、点が直線上に位置するはずであるという考えに基づいています。 正規確率プロットを使用すると、データの正規性、特にその偏りやピークを容易に識別できます。
正規確率プロットの解釈
- 直線上に点が並んでいる場合: データは正規分布に従っている可能性が高い。
- 曲線の形状をしている場合: データが正規分布から逸脱していることを示しています。たとえば、データの中央部分の点が直線よりも上にあるが、両端は直線上にある場合、データはピークがあります（すなわち、尖っている）。
- S字カーブを描く点: データが両側に裾が広がっていることを示しています。
正規確率プロットの利点
- データが正規分布に従っているかどうかを直感的に判断できます。
- データの偏りや尖り、外れ値の存在を容易に特定できます。
基礎統計
- {{obj.jp}} ({{obj.en}})
- {{obj.description}}
{{obj.mathjax}}
- {{obj.description}}
クラウド R 分析
正規性の検定と外れ値
四分位範囲（IQR）に基づく外れ値の判定方法は、以下のステップで行われます：
- データセットから第1四分位数（Q1）と第3四分位数（Q3）を計算します。
- 第1四分位数（Q1）は、データセットを下位25%に分割する値です。
- 第3四分位数（Q3）は、データセットを上位25%に分割する値です。
- 四分位範囲（IQR）は、Q3とQ1の差として計算されます：
\( IQR = Q3 - Q1 \) - 外れ値の判定基準は、次のように設定されます：
- 下限値：\( Q1 - 1.5 \times IQR \)
- 上限値：\( Q3 + 1.5 \times IQR \)
このテストは、正規分布を仮定して外れ値の検定をより精密に行います。
- データセット中で最も大きな値と最も小さい値を確認し、平均からの距離が最も大きい値 (\(X_{\text{max}}\) または \(X_{\text{min}}\)) を選択します。
- 次に統計量 \(G\) を以下の式で計算します：
\[
G = \frac{ |X - \bar{X}|}{sd}
\]
ここで、
\(\bar{X}\) はサンプル平均、
\(sd\) はサンプル標準偏差、
\(X\) は\(X_{\text{max}}\) または \(X_{\text{min}}\)です。 - \(G\) の値が臨界値よりも大きいかどうかを確認します。臨界値は、希望する信頼レベルとサンプルサイズに依存し、Student's t分布を使用して計算されます：
\[
G_{\text{crit}} = \frac{(n-1) t }{\sqrt{n(n-2 + t^2)} }
\]
ここで、
\(n\) はサンプルサイズ、
\(t\) は自由度 \(n-2\) のStudent's t分布の \(\alpha / n × 100\)パーセンタイルです。 - もし \( G > G_{\text{crit}} \) であれば、そのデータポイントは外れ値と判定されます。そのデータポイントをデータセットから除外し、次のラウンドへ進みます。
反復処理では、新しい \(G\) 値が計算され、再び \(G_{\text{crit}}\) と比較されます。これをp値が十分に大きくなる（通常は0.05以上）、または外れ値がこれ以上検出されなくなるまで続けます。
Smirnov-Grubbs 検定による外れ値の判定では、正規分布が仮定されていますので、クラウド R では、分布を確認するために歪度（Skewness）と尖度（Kurtosis）を示した上で、Kolmogorov-smirnov検定 および Shapiro–Wilk検定による正規性の検定を行っています。
歪度（Skewness）
\[ \text{Skewness} = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3 \]
ここで、
\( n \) はデータポイントの数、
\( x_i \) は各データポイント、
\( \bar{x} \) はデータの平均、
\( s \) は標準偏差です。
尖度（Kurtosis）
\[ \text{Kurtosis} = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^4 - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} \]
ここで、
\( n \) はデータポイントの数、
\( x_i \) は各データポイント、
\( \bar{x} \) はデータの平均、
\( s \) は標準偏差です。
クラウド R 分析
パラメトリック検定結果
t検定の結果
t検定
t検定は、2つのグループの平均値の違いを検証する際の基本的な手法です。
ここでは、対応のないt検定 (対応のない2群のt検定) を行い、2つの独立したグループの平均値が異なるかどうかを検定します。
前提条件
- 正規性：データが正規分布に従っていること。
- 分散の等質性：2つの群の分散が等しいこと (Leveneのテストなどで確認可能)。
t値の計算
\( t = \frac{\text{標本平均の差}}{\text{標準誤差}} \)
自由度
- 自由度は、分析で利用できるデータの「自由な」数を示します。
- 2群のt検定の場合、自由度は \( df = n_1 + n_2 - 2 \) です。
サイズ効果
- t検定は有意性を示しますが、実際の効果の大きさ (サイズ効果) も重要です。
- 一般的なサイズ効果の尺度にはCohenのdがあります。
注意点
- t検定は2つのグループ間の差のみを検討します。3つ以上のグループを比較する場合、ANOVAなどの別の手法が必要です。
- データが前提条件を満たしていない場合、非パラメトリックな手法 (Mann–Whitney U検定 など) を検討してください。
F検定 (同分散性の検定) の結果
2群の等分散性の検定 (F検定)
2群の等分散性の検定 (F検定) は、2つの独立したサンプルの母分散が等しいかどうかを検定する方法の一つです。 これは2群が同じ母分散からサンプリングされたものであるか (すなわち、母分散が等しいか) を評価します。 この検定はしばしば、2群の平均値を比較するためのt検定の前に実施されます。 多重性の問題が生じる可能性があるため、事前検定はなるべく行わない方が良いという考え方もあります。
- 帰無仮説と対立仮説の設定
- \( H_0 \): \( \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \)（2つの母分散は等しい）
- \( H_a \) または \( H_1 \): \( \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 \)（2つの母分散は等しくない）
- F値の計算
- p値の計算と帰無仮説の評価
F値は以下の式から計算されます：
\[ F = \frac{ {s_1}^2 }{ {s_2}^2 } \]
ここで、
\( {s_1}^2 \) は1つ目のサンプルの不偏分散
\( {s_2}^2 \) は2つ目のサンプルの不偏分散
計算されたF値と自由度をもとに、p値を求めます。これは、F値が帰無仮説のもとで観測される確率です。通常、p値が事前に設定した有意水準（例えば、0.05）以下である場合、帰無仮説を棄却します。
- F検定は、データが正規分布に従っている場合にのみ適切です。
- F検定は、2つのグループに対してのみ適用可能です。3つ以上のグループの分散を比較する場合、Bartlettの検定やLeveneの検定を使用します。
ANOVA (分散分析) の結果
群分類数が多すぎます
ANOVA (Analysis of Variance)
ANOVAは、三つ以上のグループの平均の間に統計的に有意な差が存在するかどうかを判断するための検定手法です。 一元配置ANOVAの場合、一つの因子に複数の水準(グループ)があるときに利用します。
主な仮説
- 帰無仮説 (H0)：全てのグループの平均は等しい
- 対立仮説 (H1)：少なくとも一つのグループの平均が他と異なる
要点
- ANOVAは変動 (Variance) を分析するものです。その名の通り、全体の変動とグループ内の変動を比較しています。
- ANOVAが有意な場合、次にどのグループ間に有意な差があるかを特定するための「事後検定」が行われます。
3群以上の等分散性の検定 (Bartlett検定) の結果
群分類数が多すぎます
Bartlettの検定
Bartlettの検定は、k個のサンプルが等分散である (分散が等しい) という仮説を検定する方法です。 分散分析のようないくつかの統計的検定では、群やサンプル間で分散が等しいことを前提とします。 Bartlettの検定は、その仮定を検証するために使用されます。
仮説:
- \( H_0 \): すべての母集団の分散は等しい。
- \( H_a \): 少なくとも2つの分散は異なる。
検定統計量 \( K^2 \) の計算:
\[ K^2 = (n - g) \ln(s_p^2) - \sum_{i=1}^{g} (n_i - 1) \ln(s_i^2) \]ここで：
- \( g \) はグループの数,
- \( n \) は合計サンプルサイズ,
- \( n_i \) は i番目のグループのサンプルサイズ,
- \( s_p^2 \) はプールされた分散, \[ s_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^{g} (n_i - 1)s_i^2}{n - g} \]
- \( s_i^2 \) は i番目のグループの分散.
帰無仮説のもとで検定統計量 \( K^2 \) は、自由度が \( k-1 \) のカイ二乗分布に従います。 したがって、p値はカイ二乗分布を用いて求めることができ、このp値が予め定められた有意水準（しばしば \( \alpha = 0.05 \) ）よりも小さい場合、等分散の帰無仮説は棄却されます。
仮定と注意
Bartlettの検定は以下の仮定を置いています
- 各データ群は独立しています。
- 各データは正規分布しています。
Bartlettの検定は、正規性からの逸脱に対して敏感です。 サンプルが非正規分布の場合、Leveneの検定を検討してください。
Tukey's HSD の結果
| グループの比較 | p値 |
|---|---|
| {{ groupNames[item[0][0]] + ' vs. ' +groupNames[item[0][1]] }} | {{ item[1].customPrecision(3) }} |
Tukey's HSD (Honestly Significant Difference)
Tukey's HSD はANOVAの事後検定の一つで、複数のグループ間の平均値の違いを評価するために使用されます。
主な仮説
- 帰無仮説 (H0)：比較する2つのグループの平均は等しい
- 対立仮説 (H1)：比較する2つのグループの平均は等しくない
要点
- ANOVAでの全体的な結果が有意である場合、Tukey's HSD を用いてどのグループの間に有意な違いが存在するかを特定することができます。
- Tukey's HSD は複数の比較を考慮して調整されており、Type Iエラー (偽陽性) をコントロールするために設計されています。
注意点
- ANOVAが有意でない場合、事後検定を行うことは推奨されません。
- Tukey's HSD 検定は、すべてのペアのグループの平均の違いを同時に比較するための方法として開発されました。この検定は、グループ間の全てのペアに対する比較を行う際のType Iエラー (偽陽性) のリスクを制御します。
クラウド R 分析
ノンパラメトリック検定結果
Mann–Whitney のU検定 の結果 (両側検定)
Mann–Whitney のU検定 (Wilcoxon の順位和検定)
2つの独立した標本が同じ母集団から抽出されたか、あるいは異なる分布を持つ母集団から抽出されたかを判断するためのノンパラメトリックな検定方法です。以下のような場合に利用します。
- 2つの独立した標本があり、それらが同じ母集団から抽出されたかどうかを検証したい場合。
- データが正規分布に従っていない、またはそのような仮定が不適切な場合。
- 比較されるグループのサイズが小さい場合や、データに外れ値が含まれる場合。
検定の手順
- 両方のグループの全データ点を合わせて順位付けします。
- 各グループでの順位の合計を計算します。
- U値を計算します。
- U値を使用してp値を計算します。
数式
\[ U = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 (n_1 + 1)}{2} - R_1 \]
ここで、
- \( n_1 \) と \( n_2 \) はそれぞれ1つ目と2つ目のグループのサンプルサイズです。
- \( R_1 \) は1つ目のグループの順位の合計です。
注意点
- Mann–Whitney のU検定はノンパラメトリック検定であるため、データの平均値ではなく中央値が同じであるという仮定のもとで行われます。
- 大きなサンプルサイズの場合には正規近似を使用することができますが、小さなサンプルサイズの場合には注意が必要です。Reactive stat では正規近似を使用しています。
Kruskal-Wallis 検定 の結果
群分類数が多すぎます
ANOVAや Tukey's HSD はパラメトリックな手法ですが、データが正規分布に従わない、または等分散性の仮定が満たされない場合など、パラメトリックな手法の前提条件が満たされない場合にはノンパラメトリックな手法を用いることが推奨されます。
Kruskal-Wallis 検定
三つ以上の独立したグループの中央値を比較するためのノンパラメトリックな手法。
ANOVAに対応するノンパラメトリックな手法といえます。 ANOVAが比較するのが平均値であるのに対し、Kruskal-Wallis 検定は中央値を比較します。
Reactive stats では、以下の計算式を使用しています。 R では、複雑な補正などが行われており、より信頼性が高いので、実務での使用においては クラウド R 分析 の結果をご利用ください。
Kruskal-Wallis 検定は、3つ以上の独立したサンプル間の中央値の差を検定する非パラメトリック手法です。この検定は、ANOVAの非パラメトリック版として知られています。
- ランクの計算
\[ \text{allValues} = \bigcup_{i=1}^k \text{groups}_i \]
ここで、\(k\) はグループの数です。 - ランク合計
\[ R_i = \sum_{j=1}^{n_i} \text{rank}_{i,j} \]
ここで、\(R_i\) は第\(i\)グループのランク合計で、\(n_i\) は第\(i\)グループのデータ点の数です。 - Kruskal-Wallis 統計量 \( H \) の計算
\[ H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1) \]
ここで、\(N\) は全データ点の数です。 - 同順位の補正
\[ T = \sum_{i=1}^{n_{\text{ties}}} (t_i^3 - t_i) \]
ここで、\(t_i\) は同順位のデータ点の数です。 補正値：\[ \text{correcrionT} = 1 - \frac{T}{N^3 - N} \]
- 補正済み Kruskal-Wallis 統計量
\[ \text{kruskalWallisH} = \frac{H}{\text{correcrionT}} \]
- p値の計算
最後に、χ^2 分布を使用してp値を計算します。
Mann–Whitney のU検定を用いたペアワイズ比較
| グループの比較 | p 値 (補正なし; 非推奨) |
p 値 (Bonferroni 補正) |
p 値 (Holm 補正) |
|---|---|---|---|
| {{ groupNames[item[0][0]] + ' vs. ' +groupNames[item[0][1]] }} | {{ item[1].customPrecision(3) }} | {{ testResults.bonferroniMethodP[idx].customPrecision(3) }} | {{ testResults.holmMethodP[idx].customPrecision(3) }} |
Mann–Whitney のU検定を用いたペアワイズ比較
Kruskal-Wallis 検定の結果が有意であった場合に、事後検定として、どのグループ間で有意な差が存在するかを特定するために、2群ごとに Mann–Whitney のU検定を行います。
得られたp値に対して、複数の比較 (多重比較) を考慮した補正を施す必要があります。
多重比較の問題に対する補正
群間で比較する場合は、検定を繰り返すため、p値が偶然 0.05を下回ってしまう確率が高まります。 これが多重比較における多重性の問題です。 補正のための多数の手法が提案されていますが、Reactive stat では、以下の二つの補正値を計算して表示します。 他にも、多数の補正方法があります。
Bonferroni 補正
- 最も簡単で保守的な補正方法の一つ。各p値を比較回数倍することで補正する。p値が十分小さいのであれば、これを適用しておけば間違いはない。
- 利点: 簡単で明確。Type I エラー (偽陽性) のリスクが高まることがない。
- 欠点: 非常に保守的で、Type IIエラー (偽陰性) のリスクが高まる。
Holm 補正
- p値を昇順にソートし、最小のp値から Bonferroni 補正を適用する。最小のp値が補正後のしきい値を超えた場合、そのp値とその後のすべてのp値を棄却する。
- 利点: Bonferroni 補正よりもパワーが高い。
- 欠点: まだ保守的な場合がある。
クラウド R 分析 (Mann–Whitney's U, Kruskal-Wallis)
連続変数の傾向の検定 (Jonckheere-Terpstra 検定)
Jonckheere-Terpstra検定
Jonckheere-Terpstra検定は非パラメトリックな統計検定で、3つ以上の独立したサンプル間で順序関係が存在するかを評価するために使用されます。
主な仮説
- 帰無仮説 (H0)：サンプル間に順序差はない
- 対立仮説 (H1)：少なくとも一つのサンプルが他のサンプルと順序差を持つ
要点
- Jonckheere-Terpstra検定は、特にサンプルサイズが異なる場合やデータが正規分布に従わない場合に有用です。
- この検定は、複数のサンプル間での中央値の順序に関心がある場合に特に適しています。
注意点
- この検定は、データに順序差が存在するかどうかを判断しますが、具体的な順序（どのグループが最も大きい、または最も小さいか等）を提供しません。
- サンプル数が2つの場合、Jonckheere-Terpstra検定は通常使用されず、他の方法が推奨されます。