階層クラスタ分析

階層クラスタ分析 (Hierarchical Cluster Analysis) は、データポイント間の類似性に基づいて段階的にクラスタを形成する教師なし学習手法です。
事前にクラスタ数を指定する必要がなく、樹形図 (デンドログラム) によってクラスタの階層構造を視覚的に把握できるため、探索的データ分析において非常に有用です。

• 階層構造の可視化
  • デンドログラム (樹形図) により、データの階層的な関係性を直感的に理解できます
  • クラスタの結合過程を段階的に追跡可能です
  • 任意のレベルでクラスタを切り出すことができます
• クラスタ数の事前指定不要
  • データの自然な構造に基づいてクラスタ数を決定できます
  • シルエット法やエルボー法により最適なクラスタ数を自動決定します
  • 研究者の主観に依存しない客観的な分析が可能です
• 多様な距離・結合方法
  • データの特性に応じて最適な手法を選択できます
  • 異なる手法の結果を比較することで、より堅牢な解釈が可能です

データポイント間の非類似度を定量化する方法を選択します。

距離計算方法	計算式	特徴	適用場面
ユークリッド距離 (推奨)	\( d = \sqrt{\sum(x_i - y_i)^2} \)	最も一般的、直線距離	連続変数、各次元の重要度が等しい場合
マンハッタン距離	\( d = \sum|x_i - y_i| \)	外れ値に頑健	ノイズの多いデータ
チェビシェフ距離	\( d = \max|x_i - y_i| \)	最大差を重視	特定次元の差が重要な場合
キャンベラ距離	\( d = \sum\frac{|x_i - y_i|}{|x_i| + |y_i|} \)	相対的差に基づく	スケールの異なる変数
ミンコフスキー距離	\( d = (\sum|x_i - y_i|^p)^{1/p} \)	一般化された距離	特殊な距離特性が必要な場合

クラスタ間の距離を定義し、どのクラスタを結合するかを決定する方法です。

各データポイントがどれだけ適切なクラスタに配置されているかを評価する指標です。

シルエット値 = \(\frac{b(i) - a(i)}{\max(a(i), b(i))}\)

ここで、\(a(i)\) は同一クラスタ内の平均距離、\(b(i)\) は最も近い他クラスタとの平均距離です。

クラスタ内平方和 (WSS) の変化率からクラスタ数を決定します。 WSS の減少率が急激に変化する「肘」の部分を最適なクラスタ数とします。

研究目的や先行研究に基づいて、事前にクラスタ数を指定することも可能です。

* 多重共線性: 高い相関を持つ変数は事前に除外を検討 * 外れ値: 結果に大きく影響するため、事前の確認が重要 * スケールの違い: 自動標準化により調整されますが、変数の意味を考慮

• 散布図: 最初の2変数でクラスタ結果を色分け表示
• シルエット分析図: 各データポイントのシルエット値を可視化
• 最適クラスタ数分析図: シルエット値またはWSS の変化を表示

各クラスタの統計的特徴を以下の表形式で確認できます：

• サンプルサイズ: 変数数の5-10倍以上のサンプルが推奨
• 変数の独立性: 高い相関を持つ変数は事前除外を検討
• 外れ値の処理: 結果に大きく影響するため事前確認が重要
• 欠損値: 完全ケース分析のためサンプル数減少に注意