1標本の比率の検定

1標本の比率の検定は、あるサンプルデータの比率が、既知の母比率と有意に異なるかを判断したい場合に用いられます。

比率の信頼区間は、比率が存在すると推定される範囲を表します。95%信頼区間は、母比率がこの範囲内にある確率が95%であることを意味します。

p値は、帰無仮説（サンプルデータの比率が既知の母比率と等しいという仮説）が正しい場合に、比率が観測された値と同じか、それよりも極端な値になる確率です。

p値が非常に小さい場合（通常は0.05未満）、帰無仮説を棄却し、比率が母比率と有意に異なると結論づけます。

片側検定は、比率が母比率よりも高い（または低い）という特定の方向性に焦点を当てた検定です。一方、両側検定は、比率が母比率から上下いずれかの方向に有意に異なるかどうかを検定します。

ある都市の住民の中で、特定の健康プログラムに参加している人の割合を調べたいとします。 全国のデータによれば、全国民の20%がこのプログラムに参加しているとされています。 この都市から無作為に選んだ1000人のサンプルを調査したところ、230人がプログラムに参加していることが分かりました。 このデータをもとに、都市の参加率が全国平均と有意に異なるかを検証したいと考えます。

1. サンプル比率の計算:

   サンプル比率 \( p \) は、\( \frac{230}{1000} = 0.23 \) または 23%です。

2. 帰無仮説の設定:

   帰無仮説 \( H_0 \): 都市の健康プログラムへの参加率は20%（\( p_0 = 0.20 \)）である。
   対立仮説 \( H_1 \): 都市の健康プログラムへの参加率は20%と異なる。

3. 検定統計量の計算:

   1標本比率の検定においては、標準誤差を用いたz検定が一般的です。
   標準誤差 \( SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} \)、ここで \( n \) はサンプルサイズです。
   z値 \( z = \frac{p - p_0}{SE} \)

4. p値の計算と結論:

   計算されたz値をp値に変換します。
   p値が0.05未満であれば、帰無仮説を棄却し、都市の参加率が全国平均と有意に異なると結論づけます。