対応のある分割表

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McNemar検定は、関連する二値変数（例えば、前後の治療効果や診断法の効果など）において、それらの間での変化や差を統計的に評価するための手法です。

検定の帰無仮説は「2つの測定間で変化の方向性に差がない」というものです。

この検定は特に、同じサンプルに対して2回異なる条件や時点での測定を行った際に、その前後の変化を調査するのに適しています。

例: 新しい診断法の評価

ある疾患に対する新規診断法Aについて、既存の診断法Bと比較して、その効果を評価する場合を想定します。 100名の患者に対する、両方の診断法の結果は以下の通りです。

このテーブルから、以下の情報を読み取ることができます

• 40人は両方の方法で陽性と診断されました。
• 45人は両方の方法で陰性と診断されました。
• 5人は方法Aで陽性、方法Bで陰性と診断されました。
• 10人は方法Aで陰性、方法Bで陽性と診断されました。

McNemar検定では、主に対角線上にないセルの値 (この例では5と10) の違いに注目します。 これらのセルは、異なる方法で異なる結果が得られたケースを表しています。 一方、対角線上のセルは、両方の方法で同じ結果 (陽性または陰性) が得られた患者の数を示しており、McNemar検定ではこの部分の値の差異には注目しません。 つまり、McNemar検定は、異なる方法によって結果が変わったケース対して行われます。

検定の前提条件

• データは対応のある (マッチした) ペアである必要があります
• 各測定値は互いに独立している必要があります
• 測定値は二値 (2カテゴリー) である必要があります

検定の実施

補正なしの場合: \[ χ^2 = \frac{(5 - 10)^2}{(5 + 10)} = \frac{25}{15} = 1.67 \]

小さいサンプルサイズで、連続性の補正（Yatesの補正）を適用する場合: \[ χ^2 = \frac{(|5 - 10| - 1)^2}{(5 + 10)} = \frac{16}{15} = 1.0667 \]

(ここでは補正値として 1 を引いていますが、0.5 を用いる場合も多いです。R の mcnemar.test に合わせてここでは 1 にしています。)

この結果はカイ二乗分布の自由度1のもとで評価されます。 ここで得られた値が有意水準 (例えば0.05) よりも小さい場合、方法Aと方法Bの間に有意な差があると結論付けることができます。

解釈

この例では、5人と10人の間には5人の差があるので、新しい診断方法Aが既存の方法Bと異なる可能性が示唆されます。 しかし、McNemar検定 (補正あり) の結果、χ2統計量: 1.0667, p値: 0.3017 となりますので、有意差はありません。

注意点

• McNemar検定は、サンプルがマッチしたペア (たとえば、同じ患者の前後の治療結果) である場合や、同一対象者に対する反復測定のデータに適用されます。
• 独立した2つのサンプル群 (例えば、異なる患者群間の比較) に対しては使用することは適切ではありません。
• 一般的に、非対角要素の合計が10以上の場合は補正なしの検定を、10未満の場合は連続性の補正を適用することが推奨されます。
• 効果の大きさを評価する場合は、オッズ比 (b/c) とその95%信頼区間も併せて報告することが推奨されます。

Bowker検定は、3値以上のカテゴリーを持つ対応のあるデータに適用できる検定手法で、McNemar検定を拡張したものです。

Bowker検定は、同じ対象に対して2回以上の測定を行った際の結果が3値以上のカテゴリーを持つ場合に、これらのカテゴリー間での変化が偶然によるものかどうかを検定します。 すなわち、McNemar検定が2×2の分割表に対して用いられるのに対し、Bowker検定は3×3またはそれ以上の分割表に対して用いることができます。

検定の帰無仮説は「対称位置にあるセルの確率が等しい (変化の対称性がある)」というものです。

例: ある治療法の結果の評価

例えば、ある治療法が3つの異なる結果 (改善、不変、悪化)を生じさせる可能性がある場合、同一の患者群に対して治療前後での状態変化を3×3のテーブルで表し、治療による効果の有無を統計的に評価します。

検定の前提条件

1. データは対応のある (マッチした) ペアである必要があります
2. 各測定値は互いに独立している必要があります
3. カテゴリーは互いに排他的である必要があります (1つのケースが同時に複数のカテゴリーに属することはできません)
4. カテゴリーの順序は問いません (順序尺度である必要はありません)

注意点

• 小さいサンプルサイズでは、統計的な検出力が低下する可能性があります。
• カテゴリー数が増えるほど、必要なサンプルサイズも大きくなります。
• セルの期待度数が小さい場合 (一般的に5未満)、検定の信頼性が低下する可能性があります。

Stuart-Maxwell検定は、対応のあるカテゴリカルデータにおいて、周辺分布の同質性 (marginal homogeneity) を評価するための統計的手法です。

このテストは、各評価者がそれぞれのカテゴリーをどの程度の割合で使用しているかの差を評価します。例えば、評価者Aと評価者Bで、すべてのカテゴリーの使用頻度に偏りがないかを検証します。

Bowker検定との違い

• Bowker検定: 対称性を評価 (例: 「改善→悪化」と「悪化→改善」の変化が同じ確率で起こるか)
• Stuart-Maxwell検定: 周辺分布の同質性を評価 (例: 評価者AとBでそれぞれのカテゴリーの診断割合に差があるか)

例: ある治療法の結果の評価 例えば、ある治療法の前後での状態変化を評価する場合

このような場合、以下を評価できます

• 方法Aは「改善」が40例 (34.2%)、「不変」が46例 (39.3%)、「悪化」が31例 (26.5%)
• 方法Bは「改善」が29例 (24.8%)、「不変」が39例 (33.3%)、「悪化」が49例 (41.9%)
• このようなすべてのカテゴリーにおける割合の違いが統計的に有意かどうかを検定

検定の前提条件

• データは対応のある (マッチした) ペアである必要があります
• 各測定値は互いに独立している必要があります
• カテゴリーは互いに排他的である必要があります
• カテゴリーの順序は検定結果に影響しません

注意点

• 小さいサンプルサイズでは、統計的な検出力が低下する可能性があります
• カテゴリー数が増えるほど、必要なサンプルサイズも大きくなります
• セルの期待度数が小さい場合、検定の信頼性が低下する可能性があります
• 検定結果の解釈は、臨床的な文脈を考慮して行う必要があります